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08.07.2008, 23:12 Uhr
0xdeadbeef
Gott
(Operator)
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Hm. Ich muss hier ein bisschen raten, aber es sieht mir so aus, als ginge es hier um Relationen. Ich beschreib grad mal kurz, was das bedeutet, damit du beurteilen kannst, ob das richtig ist:
Das kartesische Produkt AxB zweier Mengen A und B ist die Menge der 2-Tupel, die sich aus Elementen dieser Mengen zusammensetzen (genauer: deren erstes Element aus A und deren zweites Element aus B ist). Im Fall von NxN (natürliche Zahlen, wie es hier der Fall zu sein scheint) bedeutet das { (1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (2, 1), (2, 2), ..., etc }. Stell dir ein kartesisches Koordinatensystem vor, im Grunde ist es die Menge aller Punkte.
Eine Relation ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes zweier Mengen. Bleiben wir bei NxN, eine Beispielsrelation R könnte so aussehen:
R = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), ... }
Eine übliche Notation für x, y aus N wäre hier xRy, dabei bedeutet xRy, dass (x, y) in R enthalten ist. In diesem Fall schreibt man R üblicherweise als =; also: x = y bedeutet, dass (x, y) in der Relation = enthalten ist.
So weit, so einfach. Jetzt zu den vier Begriffen - im Grunde ist auch das nicht wirklich kompliziert. Jeweils für alle x, y, z aus der Ursprungsmenge:
Wenn eine Relation reflexiv ist, bedeutet das, dass xRx für alle x aus der Ursprungsmenge gilt, das heißt, die Relation muss alle (x, x) enthalten.
Wenn eine Relation symmetrisch ist, bedeutet das, dass, wenn xRy gilt, auch yRx gilt; also wenn (x, y) in der Relation ist, muss es auch (y, x) sein.
Wenn eine Relation antisymmetrisch ist, bedeutet das, dass, wenn xRy gilt, yRx nicht gilt, also wenn (x, y) in der Relation ist, ist (y, x) nicht darin.
Wenn eine Relation transitiv ist, bedeutet das, dass, wenn xRy und yRz gilt, auch xRz gilt, also wenn (x, y) und (y, z) in der Relation sind, muss es auch (x, z) sein.
Bleiben wir beim Beispiel der Gleichheit, weil wir die so gut kennen. 
Die Gleichheit ist reflexiv, weil x = x für alle x gilt.
Sie ist symmetrisch, weil, wenn x = y gilt, auch y = x gilt.
Sie ist nicht antisymmetrisch, weil wir x und y finden können, für die sowohl x = y und y = x gelten,
und sie ist transitiv, weil, wenn x = y und y = z gilt, auch x = z gilt.
Nehmen wir als zweites Beispiel die Ungleichheit:
Die Ungleichheit ist nicht reflexiv, weil x != x nicht gilt,
sie ist symmetrisch, weil x != y auch bedeutet, dass y != x,
sie ist nicht antisymmetrisch, weil wir x und y finden können, für die sowohl x != y und y != x gelten,
und sie ist nicht transitiv, weil x != y und y != z nicht zwangsläufig x != z bedeutet - setze z.B. x = 1, y = 2, z = 1.
Soweit klar?
Nachtrag: Grad den Titel gelesen; es geht um Relationen. Eh, ich werd den ganzen Kram jetzt nicht nochmal umschreiben.
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Einfachheit ist Voraussetzung für Zuverlässigkeit.
-- Edsger Wybe Dijkstra
Dieser Post wurde am 08.07.2008 um 23:18 Uhr von 0xdeadbeef editiert. |
