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29.12.2003, 22:56 Uhr
Pablo
Supertux
(Operator)
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Ein Matrix ist ein quadratischen Scheme mit Zahlen als Einträge. Stell dir vor eine 2-dim. Array mit Dimension 2x2. Das kann man auch als Matrix interpretiert werden.
Eine Matrix ist nichts anderes als eine lineare Abbildung. Was ich damit meine ist folgendes: Du kennst was eine Funktion ist, z.b. die quadratische Funktion f(x) = x². Diese Funktion ordnet jeder Zahl x eine entsprechende Zahl zu, und zwar (in diesem Fall) das Quadrat der Zahl. Als f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4, f(3)=9, usw.
Stell dir die Funktionen als eine Maschine, die Zahlen verarbeitet und Zahlen als Ergbnis spuckt. Nun, die Funktion ist aber eine eindeutige Zuordnung, d.h. eine Funktion kann mehrer Zahlen als Eingabe bekommen, aber kann nur eine einzige Zahl spucken, d.h. Sachen wie f(2) = 6 oder 7 gibt es nicht.
Ein Vektor ist wie eine mehrfach-dimensionale Zahl. Z.b. ein Pfeil in dem Raum ist ein Vektor in 3 Dimensionen, um deinen Pfeil im raum zu platzieren, musst du die Länge, Höhe und Tiefe angeben. Z.b. (1,1,1). Wenn du ein Würfel hättest mit 1x1x1 cm, dann ist der Vektor (1,1,1) die Diagonale des Würfels. Ein Vektor kann verlängert, verschoben, gedreht und gespiegelt (bzgl Achsen) werden. Und wenn man einen Vektor verlängert oder dreht, bekommt man einen neuen Vektor. Also sind Verlängerungen, Spiegelungen, Drehungen, und Verschiebungen Funktionen (sie heißen Ähnlichkeitsabbildungen). Diese Funktionen arbeiten wie die obene genannten Funktion und der Unterschied liegt darin, dass solche Funktionen (oder auch lineare Abbildungen genannt) Vektoren statt Zahlen bekommen und Vektoren auspucken.
Nun, da ein Vektor über mehr als eine Dimension verfügt, ist dann nicht so einfach eine solche Funktion aufzuschreiben, wie f(x)=x². Dafür hat man die Matrizen. Die Matrizen entsprechen diesen Funktionen. Wenn man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert (dafür gibt es bestimmte Regeln) bekommt man nochmal einen Vektor. Wenn die Matrix eine Verschiebungsmatrix ist, dann bekommst de verschiebung des Vektors, mit dem du die Matrix multipliziert hast.
Die Inverse Matrix B eine Matrix A ist die Matrix, für die gilt: A*B = E. E heißt hier die Einheitsmatrix, und diese Matrix hat überall 0 außer in der Diagoanle. Die Diagonale hat nur 1.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ist die Einheitsmatrix der Matrizen mit 3x3 Dimensionen.
Diese Einheitsmatrix ist cool, denn sie verhält sich bzgl. Matrizen und Vektoren genauso wie de Zahl 1. Die Multiplikation mit der Zahl 1 ergibt immer die andere Zahl, d.h 5*1 = 5, 7*1 = 7. Wenn du eine Matrix A hast und sie mit E (Einheitsmatrix) multiplizierst, bekommst du wieder A, also, A*E = A; B*E=B, usw.
In der Mathematik (speziell in der Linearen Algebra) betrachtet man die Matrizen als Zahlen. Und so wie für 6 und 1/6 die Zahl ist, für die gilt: 6*1/6 = 1 hat man für Matrizen die Inverse Matrix, so dass gilt: A*B = E.
| Zitat: |
erpelqueen postete
Und was bringt es, die zu invertieren?
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Was das bringt ist schwer in kurzen Sätzen zu erklären. Dafür musst du einigen Sachen der Mathematik kennen, die nicht so trivial sind. nd ich glaube, jetzt ist nicht die Zeit sie zu verstehen und glaube auch, dass du es vielleicht nicht verstehst. Wenn man die Menge der reelen Zahlen (alle Zahlen) betrachtet, kann man sagen, das mit + und * ein Körper ist, weil es bestimmte Eigenschaften erfüllt (Assoziativiät, Kommutativität, Existenz des Inverses Elementes, usw.). Wenn man die Menge der 3x3 Matrizen betrachtet, mit + und * (+ und * bzgl Matrizen) ist diese Menge kein Körper, weil es Eigenschaften des Körpers nicht erfüllt sind, zb. nicht jede Matrix kann invertiert werden.
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A! Elbereth Gilthoniel!
silivren penna míriel
o menel aglar elenath,
Gilthoniel, A! Elbereth!
Dieser Post wurde am 29.12.2003 um 23:01 Uhr von Pablo editiert. |
