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14.05.2006, 20:20 Uhr
Pablo
Supertux
(Operator)
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Ganz einfach, denk wie ein Kind, Gauß war immerhin ein Kind, als er das herausgefunden hat.
Du hast 1+2+3+4+5+6+...+n = (1 + n) + (2 + n - 1) + (3 + n - 2) + ... + (n/2 + n-n/2+1) für n gerade oder ((n-1)/2 + n-(n-1)/2 + 1) für n ungerade.
Was habe ich da gemacht? Ich habe die Summanden neu sortiert, das darf ich, weil die Addition kommutativ ist. Ich nehme mir das erste und das letzte Elemente (1, n) und addiere sie. Dann nehme ich das zweite und das vorletzte (2, n - 1), und dann das dritte und das vorvorletzte (3, n - 2), usw. Wie viele solche Paare kann ich bilden? Genau n/2 solche Paare, denn ich habe n Zahlen (ohne Beschränkung der Allgemeinheit: n gerade). So, wenn ich diese Paare alleine betrachte, dann ergibt die Summe immer n+1. n + 1 = n + 1 (für das erste Paar).
2 + n - 1 = n + 1 für das 2. Paar. 3 + n - 2 = n + 1 für das dritte Paar, usw. also habe ich eine Addition von n/2 Summanden, die immer n+1 ergeben, also ist die Summe (n/2)*(n+1) = (n*(n+1)) / 2
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A! Elbereth Gilthoniel!
silivren penna míriel
o menel aglar elenath,
Gilthoniel, A! Elbereth! |
